Основные понятия и определения финансовой математики:
Проценты – доход от предоставления капитала в долг в различной форме (ссуды, кредиты и т.д.), либо от инвестиций производственного или финансового характера.
Первоначальная денежная сумма (настоящая, современная, текущая, приведенная) – величина капитала, имеющегося на начальный момент времени (или величина капитала, вкладываемого в рассматриваемую операцию).
Процентная ставка – величина, характеризующая интенсивность начисления процентов.
Наращение (компаудинг) – увеличение первоначальной денежной суммы за счет присоединения начисленных процентов.
Наращенная (будущая) денежная сумма – первоначальная денежная сумма вместе с начисленными процентами.
Дисконтирование – определение текущего финансового эквивалента будущей денежной суммы (приведение будущей денежной суммы к настоящему моменту времени).
Коэффициент наращения – величина, показывающая, во сколько раз вырос первоначальный капитал.
Период начисления – период времени, в течение которого начисляются проценты. Он может выражаться в днях или в годах, являться как целым, так и нецелым числом.
Интервал начисления – минимальный промежуток времени, по прошествии которого начисляются проценты. Период начисления может состоять из одного или нескольких равных интервалов начисления.
Временная база для расчета процентов Т - количество дней в году, которое берется для расчета процентов. В зависимости от способа определения продолжительности финансовой операции, рассчитывается либо точный, либо обыкновенный процент.
Возможны следующие варианты:
|
Число дней в году Число дней в месяце |
Т = 360 |
Т = 365/366 |
|
30 |
360/360 – приближенный метод, обычно применяется в промежуточных расчетах. |
Не имеет смысла |
|
28/29 или 30/31
|
365/360 банковский метод. |
365/365 – точные проценты. |
Существует несколько способов начисления процентов и, соответственно, несколько видов процентных ставок. В зависимости от применяемого способа начисления финансовые результаты могут достаточно сильно различаться. При этом разница будет тем больше, чем больше вкладываемый капитал, применяемая процентная ставка и продолжительность периода начисления.
Общее представление о различных способах начисления процентов дает следующая схема:
|
|
|
Способы начисления процентов
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Декурсивный
|
|
|
|
Антисипативный
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Простые п/с |
|
Сложные п/с |
|
Простые п/с |
|
Сложные п/с |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Начисление n раз в году |
|
Непрерывные проценты |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Наиболее распространенным является декурсивный способ начисления процентов. При таком способе проценты I начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала P. Декурсивная процентная ставка (ссудный процент) i представляет собой выраженное в процентах отношение начисленного за данный интервал дохода (процентов) к сумме, имеющейся на начало этого интервала. Величина процентной ставки характеризует интенсивность начисления процентов.
Данной операции наращения соответствует следующее математическое выражение:
S = P + I = P + i P = P (1 + i)
Обратной данной операции является операция дисконтирования, т.е. определения текущей величины P, эквивалентной будущей сумме S:
P = S / (1 + i )
С точки зрения концепции временной стоимости денег при данной процентной ставке суммы P и S эквивалентны, можно также сказать, что сумма P является текущим финансовым эквивалентом будущей суммы S.
При антисипативном (предварительном) способе проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из величины будущей денежной суммы. Антисипативной процентной ставкой (учетной ставкой) d будет выраженное в процентах отношение суммы начисленного дохода к будущей денежной сумме.
В этом случае формула для определения величины наращенной суммы имеет следующий вид:
S = P + I = P / (1 - d)
Соответственно, для операции дисконтирования, называемой в этом случае банковский учет:
P = S (1 - d )
На практике антисипативные процентные ставки применяются обычно при учете векселей. Полученный в этом случае процентный доход называют дисконтом – скидкой с будущей суммы.
При обоих способах начисления процентные ставки могут быть простыми, если они применяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления, и сложными, если по прошествии каждого интервала они применяются к сумме первоначального капитала и начисленных за предыдущие интервалы процентов.
Формулы определения будущей денежной суммы при различных вариантах начисления процентов за период n лет:
S = P ( 1 + n i ) - для случая простых декурсивных процентов
S = P ( 1 + i ) n - для случая сложных декурсивных процентов
S = P / ( 1 - n d ) - для случая простых антисипативных процентов
S = P / ( 1 - d )n - для случая сложных антисипативных процентов
Если период начисления выражен в днях, формулы простых процентов примут вид:
S = P ( 1 + t/T i )
S = P / ( 1 – t/T d ),
где t – продолжительность периода начисления.
Множители, показывающие, во сколько раз будущая денежная сумма больше величины первоначального капитала, называются коэффициентами наращения. Обратными к коэффициентам наращения являются коэффициенты дисконтирования[1], позволяющие определить текущий финансовый эквивалент будущей денежной суммы.
В некоторых случаях при анализе эффективности различных финансовых операций бывает полезно определять эквивалентные процентные ставки. Эквивалентные процентные ставки – это такие процентные ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты. Под одинаковыми начальными условиями в данном случае подразумеваются одна и та же величина первоначального капитала и равные периоды начисления дохода. Исходя из этого, можно составить уравнение эквивалентности и вывести соотношение для рассматриваемых ставок.
Например, для простых ссудной и учетной ставок такие соотношения будут выглядеть следующим образом:
d = i / (1 + n i); i = d / (1 - n d).
Ссудная ставка, эквивалентная учетной отражает доходность соответствующей операции учета и полезна при сравнении доходности и эффективности различных финансовых инструментов.
Учет инфляции в финансовых расчетах
Инфляция характеризуется снижением покупательной способности национальной валюты и общим повышением цен. На различных участников финансовой операции инфляционный процесс действует неодинаково. Так, если кредитор или инвестор могут потерять часть планируемого дохода за счет обесценения денежных средств, то заемщик получает возможность погасить задолженность деньгами сниженной покупательной способности.
Во избежание ошибок и потерь инфляционное влияние должно учитываться при планировании финансовых операций.
Обозначим через Sa сумму, покупательная способность которой с учетом инфляции равна покупательной способности суммы S в отсутствие инфляции. Уровнем инфляции a называется отношение между инфляционным изменением некоторой величины за определенный период и ее первоначальным значением, выраженное в процентах (в расчетах используется относительный показатель):
a = (Sa - S) / S 100%
Отсюда: Sa = S (1 + a)
Это означает, что при уровне инфляции a, цены вырастают за период в (1 + a) раз. Множитель (1 + a) называется индексом инфляции Ia.
Если рассматриваемый период состоит из нескольких интервалов, на каждом из которых уровень инфляции составляет величину a, цены в целом вырастут в (1 + a) n раз. Общий итог выражается следующим соотношением:
Sa = S (1 + a) n
Отсюда следует первый важный вывод, касающийся инфляционного процесса:
Инфляционный рост аналогично наращению первоначального капитала по правилу сложных процентов. Только в этом случае мы не получаем доход, а теряем его.
Еще одно полезное соображение касается расчета ставки доходности, которая могла бы компенсировать инфляционные потери и обеспечить прирост капитала.
Пусть a - годовой уровень инфляции,
i – желаемая доходность финансовой операции (очищенная от влияния инфляции)
ia - ставка доходности компенсирующая инфляцию.
Тогда для наращенной суммы S, которая в условиях инфляции превратится в сумму Sa, можно записать следующее выражение:
Sa = P (1 + i) (1 + a)
Тот же результат может быть получен и другим способом:
Sa = P (1 + ia)
Приравнивая правые части записанных равенств получим выражение для расчета ia:
ia = i + a + i a
Это известная формула И. Фишера, в которой величина (a + i a) является «инфляционной премией» - необходимой добавкой, компенсирующей влияние инфляции.
Теперь можно сформулировать второй важный вывод:
Для расчета процентной ставки, компенсирующей инфляцию, к требуемой норме доходности необходимо прибавить не только величину уровня инфляции, но и произведение i a.
В реальной практике часто оказывается полезной модификация данной формулы, позволяющая найти реальную доходность операции в условиях инфляционного повышения цен:
i = (ia - a) / (1 + a)
Большинство операций, связанных с вложением капитала, подразумевает в будущем не единовременное получение наращенной суммы, а целый денежный поток доходов в течение определенного периода. Основными параметрами, интересующими в этом случае инвестора или кредитора, являются современная (приведенная) стоимость денежного потока, его будущая (наращенная) величина, а также доходность финансовой операции.
Будем использовать следующие обозначения:
P – величина вложенного капитала,
CF k – величина k- го элемента денежного потока,
i – ставка дисконтирования (обычно - сложная ставка ссудного процента),
А – приведенная стоимость (стоимость) денежного потока,
S – будущая стоимость денежного потока,
n – число элементов денежного потока.
Приведенной стоимостью денежного потока называется сумма всех его элементов приведенных (дисконтированных) к настоящему моменту времени:
А = CF1 / (1 + i) + CF2 / (1 + i)? + … + CFn / (1 + i)n
Аналогично, будущая стоимость денежного потока, это сумма его наращенных элементов на момент последней выплаты:
S = CF1 (1 + i)n-1 + CF2 (1 + i)n-? + … + CFn
Доходностью финансовой операции называется такая декурсивная процентная ставка, при дисконтировании по которой приведенная стоимость денежного потока доходов совпадает с величиной вложенного капитала: P = A. Для нахождения такой ставки в общем случае приходится решать уравнение n – ой степени[2].
[1] Значения коэффициентов наращения и дисконтирования в случае использования сложных декурсивных ставок можно найти в специальных таблицах, приведенных в приложении.
[2] Для определения доходности краткосрочной финансовой операции (менее одного года) обычно используется простая ставка ссудного процента, для долгосрочной операции – сложная.